دانلود کتاب Problèmes aux Limites Non Homogènes et Applications - Volume 1

Table des matières:

CHAPITRE 1. Théorie hilbertienne des espaces de trace et é9interpolation ...... 1
1. Quelques espaces fonctionnels 3
1.1 Espaces de Sobolev 3
1.2 Le cas de l'espace entier 6
1.3 Le cas du demi-espace ..................... 8
1.4 Orientation 11
2. Théorème des dérivées intermédiaires 11
2.1 Espaces intermédiaires 11
2.2 Théorème de densité et de prolongement 13
2.3 Théorème des dérivées intermédiaires 18
2.4 Un exemple simple 22
2.5 Inégalité d'interpolation 22
3. Théorème de traces ........................... 23
3.1 Propriétés de continuité des éléments de W(a9 ©....................... 23
3.2 Théorème de traces 25
4. Espaces de traces et dérivées d'ordre non entier.............................. 28
4.1 Orientation. Définitions 28
4.2 Théorème des « dérivées intermédiaires » et des traces.................. 28
5. Théorème d'interpolation 31
5.1 Théorème principal 31
5.2 Interpolation d'une famille d'opérateurs 32
6. Propriétés de réitération et dualité des espaces [Jf, Ffo........................ 33
6.1 Réitération 33
6.2 Dualité 34
7. Les espaces Hs(Rn) et HS(T) 35
7.1 Espaces Hs(Rn) 35
7.2 Traces sur la frontière d'un demi-espace 37
7.3 Les espaces Hs(0 38
8. Théorème de traces dans Hm(Q) 42
8.1 Théorème de prolongement et de densité............................. 42
8.2 Théorème de traces 44
9. Espaces H%Q),s>0 45
9.1 Définition par interpolation 45
9.2 Théorème de traces dans H8(Q) 47
9.3 Interpolation des espaces HS(Q) 49
9.4 Propriétés de régularité des fonctions de HS(Q) 51
10. Quelques propriétés complémentaires des espaces [X, Y]9 53
10.1 Domaines de semi-groupes 53
10.2 Application à Hs(Rn). 58
10.3 Application à Hs(0, oo) 59
11. Sous-espaces de HS(Q). Les espaces H§(Q) 59
11.1 Les espaces HS0(Q) 59
11.2 Une propriété de HS(Q), 0 ^ s < i 62
11.3 Le prolongement par 0 hors de Q , 66
11.4 Caractérisation des espaces H^(Q) 68
11.5 Interpolation des espaces Hf^Q) 70
12. Espaces H~S(Q) 77
12.1 Définition. Premières propriétés 77
12.2 Interpolation entre les espaces H~S(Q), s > 0 79
12.3 Interpolation entre H^(Q) et H~S2(Q) , 79
12.4 Interpolation entre HS^(Q) et H~S*(Q) 8Q
12.5 Interpolation entre Hsi(Q)et(#s2(&))'. 84
12.6 Interpolation entre H*i(Q) et (Hsi(Q))' 85
12.7 Un lemme . 88
12.8 Opérateurs différentiels sur HS(Q). 93
12.9 Invariance par difféomorphismes 94
13. Interpolation d9intersection 95
13.1 Un résultat général 95
13.2 Exemple d'application (I) 96
13.3 Exemple d'application (II) 96
13.4 Interpolation d'espaces quotients 99
14. Interpolation holomorphe 101
14.1 Résultat général 101
14.2 Interpolation d'espaces de fonctions continues à valeurs hilbertiennes 104
14.3 Un résultat relatif à l'interpolation de sous-espaces 106
15. Autre définition intrinsèque des espaces [X, Y]0 108
16. Propriétés de compacité..., , 110
17. Commentaires 113
18. Problèmes 116
CHAPITRE 2. Opérateurs elliptiques. Théorie hilbertienne 119
1. Opérateurs elliptiques et problèmes aux limites réguliers 121
1.1 Opérateurs elliptiques 121
1.2 Opérateurs proprement et fortement elliptiques 122
1.3 Hypothèses de régularité sur l'ouvert Q et les coefficients de l'opérateur A. 123
1.4 Les opérateurs frontière 124
2. La formule de Green et les problèmes aux limites adjoints. 126
2.1 L'adjoint de A au sens de distributions ou adjoint formel 126
2.2 Le théorème de la formule de Green ................................ 126
2.3 Démonstration 127
2.4 Une variante de la formule de Green 132
2.5 Problèmes adjoints formels par rapport à la formule de Green........... 133
3. La régularité à Vintérieur des solutions des équations elliptiques................ 134
3.1 Deuxlemmes 134
3.2 Les estimations à priori dans Rn 136
3.3 La régularité à l'intérieur de Q et Fhypoellipticité des opérateurs elliptiques. 138
4. Les estimations à priori dans le demi-espace 140
4.1 Une formulation nouvelle de la condition de recouvrement.............. 140
4.2 Un lemme sur les équations différentielles ordinaires................... 144
4.3 Une première application : démonstration du théorème 2.2. ............ 147
4.4 Les estimations à priori dans le demi-espace pour le cas des coefficients
constants 150
4.5 Les estimations à priori dans le demi-espace pour le cas des coefficients
variables 156
5. Les estimations à priori dans Vouvert Q et l'existence des solutions dans les espaces
HS(Q), avec s réel > 2 m 165
5.1 Les estimations à priori dans l'ouvert Q.............................. 165
5.2 L'existence des solutions dans les espaces HS(Q), avec s entier > 2 m...... 170
5.3 Précisions sur les conditions de compatibilité pour l'existence............ 174
5.4 L'existence des solutions dans les espaces H*(Q) avec s réel > 2 m........ 176
6. Application de la transposition : Vexistence des solutions dans les espaces HS(Q)$
avec s réel ^ 0 177
6.1 La méthode de transposition ; généralités ............................ 177
6.2 Choix de la forme L 179
6.3 Les espaces 3S(Q) et DSA{Q) 182
6.4 Théorème de densité 186
6.5 Théorème de traces et formule de Green pour l'espace D*A(Q)............ 187
6.6 L'existence des solutions dans les espaces DA(Q)....................... 189
7. Application de F interpolation : Vexistence des solutions dans les espaces HS(Q)$
avec s réel, 0 < s < 2 m 193
7.1 Nouvelles propriétés desespaces 3*(Q)..... ..................... 193
7.2 Utilisation de l'interpolation : premiers résultats....................... 198
7.3 Les résultats finals 201
8. Compléments et généralisations . ................................. 205
8.1 Continuité des traces sur les surfaces voisines de F..................... 205
8.2 Une généralisation ; application au problème de Dirichlet............... 207
8.3 Remarques sur les hypothèses sur A et Bj ......................... 209
8.4 La réalisation de A dans L2(Q) ....................... 210
8.5 Quelques remarques sur l'indice de gp ............................... 212
8.6 Théorèmes d'unicité et de surjectivité 213
9. Théorie variationnelle des problèmes aux limites............................. 214
9.1 Problèmes variationnels 215
9.2 Position du problème 217
9.3 Un contre-exemple 218
9.4 Formulation variationnelle et formule de Green....................... 219
9.5 Les problèmes variationnels « concrets » ............................ 222
9.6 Formes et problèmes coercifs ........................ 225
9.7 La régularité des solutions 227
9.8 Généralisations-I . 228
9.9 Généralisations-II , 230
10. Commentaires 232
11. Problèmes 241
CHAPITRE 3. Equations d'évolution variationnelles 243
1. Un théorème dHsomorphisme 245
1.1 Notations 245
1.2 Théorème d'isomorphisme 248
1.3 L'adjoint A* 248
1.4 Démonstration du théorème 1.1 249
2. Transposition 250
2.1 Généralités 250
2.2 Théorème d'isomorphisme adjoint 250
2.3 Transposition 250
3. Interpolation 251
3.1 Application générale 251
3.2 Caractérisation des espaces d'interpolation 252
3.3 Lecas«0= i» 253
4. Exemple : Equations paraboliques abstraites, problème de condition initiale (I) 253
4.1 Notation 253
4.2 L'opérateur M 254
4.3 L'opérateur A 256
4.4 Application des théorèmes d'isomorphisme 257
4.5 Choix de L 259
4.6 Interprétation du problème 260
4.7 Exemples 263
5. Exemple : Equations paraboliques abstraites, problème de condition initiale (II).. 275
5.1 Quelques résultats d'interpolation 275
5.2 Interpolation des espaces «Ê1^, &£ 278
6. Exemple : Equations paraboliques abstraites, solutions périodiques 279
6.1 Notations. L'opérateur A 279
6.2 Application des théorèmes d'isomorphisme 280
6.3 Choix de L 280
6.4 Interprétation du problème 281
6.5 L'isomorphisme de