دانلود کتاب Introduction to density functional theory (slides)

توصیف دستگاه‌های چند ذره‌ای یکی از هدف‌ های اصلی فیزیک در قرن حاضر است. یک دستگاه بس‌ ذره‌ای از تعداد زیادی ذره (همانند یا ناهمانند) تشکیل شده است که با یکدیگر برهم ‌کنش دارند. از جمله آن‌ها، اتم‌ ها، مولکول‌ها و بلور‌ها هستند که هر یک از تعدادی الکترون و هسته تشکیل شده ‌اند. اگر بخواهیم یک دستگاه بس‌ ذره ‌ای را بررسی و به‌عنوان مثال انرژی و دیگر ویژگی‌ های آن را محاسبه نماییم، می‌ توانیم از روش‌ های کلاسیکی یا کوانتومی (ابتدا به ساکن) استفاده کنیم. هر کدام از این روش‌ ها خوبی‌ ها و بدی‌ هایی دارند و بسته به نوع مسئله‌ های مورد مطالعه، دقت و سرعت مورد نیاز، می‌ توان یکی از آن‌ها را انتخاب کرد.

در تعیین ساختار نواری، در بلور‌ها که یک مسئله بس‌ ذره‌ای است، لازم است معادله‌ ی شرودینگر برای تعداد زیادی هسته و الکترون حل شود. حل دقیق این معادله‌ ی شرودینگر امکان‌پذیر نیست. در نتیجه باید از روش‌ های تقریبی کمک گرفت. در این روش‌ ها معمولاً معادله شرودینگر بس ‌ذره‌ای به معادله‌ های تک ذره‌ای تبدیل می‌شوند. برای این هدف باید ساده‌ سازی‌ هایی انجام داد. نخستین ساده‌سازی این است که چون جرم الکترون‌ ها بسیار کم‌تر از هسته‌ ها است، در بررسی حرکت الکترون‌ ها، هسته‌ ها را ساکن در نظر بگیریم. در بررسی حرکت هسته‌ ها، الکترون‌ ها را در حالت پایه فرض کنیم ( تقریب بورن-اپنهایمر). نتیجه انجام این ساده‌ سازی آن است که معادله‌ ی شرودینگر کل بلور به دو معادله‌ ی شرودینگر، یکی برای مجموعه‌ ی الکترون‌ ها و دیگری برای مجموعه ‌ی یون‌ها (هسته ‌ها) تفکیک می‌ شود. از طرف دیگر هسته‌ ها به دلیل جرم زیاد خود و همپوشانی ناچیز تابع‌های موج دوبروی آن‌ها، ذره‌ هایی تمیز پذیر تلقی می‌ شوند و می‌ توان حرکت آن‌ها را به‌صورت کلاسیکی بررسی کرد؛ بنابراین، در حل معادله شرودینگر، هسته‌ ها را ساکن و فقط حرکت الکترون‌ ها را در نظر می‌ گیریم. در بررسی حرکت الکترون‌ ها فرض می‌کنیم که هر الکترون در یک میدان متوسط ناشی از دیگر الکترن‌ ها حرکت می‌کند. به این ترتیب، معادله‌ ی شرودینگر بس‌ذره‌ای به یک دسته معادله‌ های تک الکترونی تبدیل می‌ شود. برای حل معادله شرودینگر از تقریب شبکه ایده‌ آل هم استفاده می‌ کنیم که درآن یون‌ها در شبکه به‌صورت منظم قرار گرفته‌ اند و شبکه تناوبی است.