دانلود کتاب Лекции по дифференциальной геометрии

Настоящее учебное пособие представляет собой переработанный конспект лекций по курсу «Дифференциальная геометрия» для студентов математико-механического факультета Уральского государственного университета. В пособии представлены два традиционных раздела дифференциальной геометрии — теория кривых и теория поверхностей в аффинных евклидовых пространствах.Содержание:Глава 0. Предварительные сведения и договоренностиВекторные пространстваОриентацияБилинейные и квадратичные формыЕвклидовы пространстваВекторные функции скалярного аргументаОбобщенное векторное произведениеАффинные евклидовы пространстваГлава 1. КРИВЫЕ1. Общие сведения о кривых в аффинных евклидовых пространствахОпределение гладкой кривой. Регулярность. Длина кривойЗамена параметра. Эквивалентность кривыхКривые единичной скорости2. Плоские кривые. Экскурсия к истокам дифференциальной геометрииЛинии на плоскостиКасание плоских кривых. ОгибающаяРепер Френе плоской кривой единичной скоростиНатуральные уравнения кривойРепер Френе и кривизна произвольной регулярной плоской кривойПонятие о сферическом отображении — замечательной идее ГауссаЛокальное строение плоских кривыхЭволюта и эвольвента3. Общая локальная теория кривыхКривые общего видаРепер Френе кривой общего видаТеорема Френе–Жордана. Уравнения Френе кривой общего видаКривые общего вида в трехмерном пространствеСвойства кривизн кривых общего видаОсновная теорема локальной теории кривыхТеорема о последней кривизнеКривые с постоянными кривизнамиГлава 2. ПОВЕРХНОСТИ1. Понятие поверхностиДифференциал гладкого отображенияОпределение поверхности. Касательное пространство. Касательное расслоениеПримеры поверхностей2. Внутренняя геометрия поверхностиПервая фундаментальная формаДлина кривой вдоль поверхностиУглы на поверхностиОбъем поверхностиЗамена параметров на поверхности. Изометричность поверхностей3. Внешняя геометрия гиперповерхностейНормальное гауссово поле. Дифференциал нормального отображенияОсновной оператор гиперповерхности и вторая фундаментальная формаМатрица основного оператора гиперповерхности. Кривизны и главные направления. Линии кривизныокальноестроениегиперповерхностиНормальная кривизна. Теорема Менье. Теорема Эйлера. Асимптотические линии4. Движение репера вдоль поверхностиПроизводные базисных векторов. Коэффициенты связностиУравнения Гаусса–Петерсона–Кодацци–МайнардиТензорыТензоры кривизны Леви-Чивита и Римана. Теорема «egregium» ГауссаКовариантное ускорение. ГеодезическиеВариации кривых на поверхности. Экстремальные свойства геодезическихКовариантное дифференцированиеЛитература, в которую заглядывал автор при написании этой книжки